Абелево многообразие — это проективное алгебраическое многообразие, являющееся алгебраической группой (это значит, что закон композиции задаётся регулярной функцией).
Абелевы многообразия являются хорошо изученными объектами в алгебраической геометрии. Это понятие используется в различных разделах алгебраической геометрии и теории чисел.
Абелево многообразие может быть определено уравнениями с коэффициентами в любом поле k. Говорят, многообразие над полем k. Исторически, сначала изучались абелевы многообразия над полем комплексных чисел.
Особым случаем являются абелевы многообразия над полями алгебраических чисел. Этот случай важен в теории чисел.
Можно доказать[1], что абелево многообразие коммутативно как группа, то есть является абелевой группой.
Для абелевых многообразий X, Y над полем комплексных чисел изоморфизм многообразий, при котором 1X переходит в 1Y, является групповым изоморфизм.