Показательная функция

---

Показательная функция — математическая функция ${\displaystyle f(x)=a^{x}}$, где ${\displaystyle a}$ называется основанием степени, а ${\displaystyle x}$ — показателем степени.

Особо выделяется случай, когда в качестве основания степени выступает число e. Такая функция называется экспонентой (вещественной или комплексной). При этом из-за того, что любое положительное основание ${\displaystyle a}$ может быть представлено в виде степени числа е (${\displaystyle a=e^{\ln a}}$), понятие «экспонента» часто употребляют как синоним «показательной функции».

Пусть ${\displaystyle a}$ — неотрицательное вещественное число, ${\displaystyle x}$ — рациональное число: ${\displaystyle x={\frac {m}{n}}}$. Тогда ${\displaystyle a^{x}}$ определяется, исходя из свойств степени с рациональным показателем, по следующим правилам.

Для произвольного вещественного показателя ${\displaystyle x}$ значение ${\displaystyle a^{x}}$ можно определить как предел последовательности

где ${\displaystyle \{r_{n}\}}$ — последовательность рациональных чисел, сходящихся к ${\displaystyle x}$. То есть

При ${\displaystyle a>1}$ показательная функция всюду возрастает, причём:

---