Село расположено в балке Чограй[5] (считается истоком реки Чограй), начинающейся в 3 км северо-западнее села Серафимовского[6]. Высота над уровнем моря — 67 м[7].
Климат Арзгира засушливый, умеренно континентальный. Лето продолжительное и жаркое, зима короткая и мягкая.
Село названо по ручью Арзгир, протекавшему по балке Чограй[9]. Согласно «Энциклопедическому словарю Ставропольского края» (2006), топоним Арзгир происходит от тюрк. Арс — непереводимое имя собственное и гир — вода[10]. По информации ставропольского краеведа Владимира Георгиевича Гниловского, вторую часть этого названия (гир) «некоторые исследователи аналогизируют с украинским словом „гирло“ (проток, рукав реки)»[11]. Также существует версия, что наименование села образовано от калм. Арзһр — шероховатый, неровный[12].
Кандидат филологических наук Евгений Владимирович Бембеев[13] в своей работе «Калмыцкий субстрат в топонимии Ставропольского края» (2009) ставит под сомнение достоверность версий о тюркском и славянском происхождении этого топонима, полагая, что его этимология наиболее убедительное объяснение находит на материале калмыцкого языка[14].