Ассоциативность (математика)

---

Ассоциати́вность (сочетательность) — свойство бинарной операции ${\displaystyle \circ }$, заключающееся в возможности осуществлять последовательное применение формулы ${\displaystyle (x\circ y)\circ z=x\circ (y\circ z)}$в произвольном порядке к элементам ${\displaystyle x,\;y,\;z}$.

Поскольку для ассоциативных операций результат выражения ${\displaystyle x_{1}\circ x_{2}\circ \ldots \circ x_{n}}$ не зависит от порядка применения, скобки при записи опускаются. Для неассоциативной операции выражение${\displaystyle x_{1}\circ x_{2}\circ \ldots \circ x_{n}}$ при ${\displaystyle n>2}$не определено без дополнительных соглашений о порядке применения.

Примером неассоциативной операции является возведение в степень — результат выражения ${\displaystyle a^{b^{c}}}$ напрямую зависит от расстановки скобок, в общем случае ${\displaystyle a^{(b^{c})}\neq (a^{b})^{c}}$.

Не всякая коммутативная операция ассоциативна — существуют коммутативные магмы^[en] с неассоциативной.

---