Бинарная операция

---

Бина́рная, или двуме́стная, опера́ция (от лат. bi «два») — математическая операция, принимающая два аргумента и возвращающая один результат (то есть операция с арностью два).

Пусть ${\displaystyle A,\;B,\;C}$ — тройка непустых множеств. Бинарной операцией, или бинарной функцией, на паре ${\displaystyle A,\;B}$ со значениями в ${\displaystyle C}$ называется отображение ${\displaystyle P:A\times B\to C}$.

Пусть ${\displaystyle A}$ — непустое множество. Бинарной операцией на множестве ${\displaystyle A}$, или внутренней бинарной операцией, называют отображение ${\displaystyle P:A\times A\to A}$.

Первое определение соответствует франкоязычной традиции, второе — англоязычной. Чаще всего рассматриваются именно внутренние бинарные операции.

Также имеется близкое понятие закона композиции, объединяющее внутренние бинарные операции ${\displaystyle P:A\times A\to A}$ (внутренние законы композиции) с бинарными операциями вида ${\displaystyle P:A\times B\to A}$ или ${\displaystyle P:B\times A\to A}$ (внешними законами композиции).

Бинарную операцию принято обозначать знаком действия, который ставится между операндами (инфиксная форма записи). Например, для произвольной бинарной операции ${\displaystyle \circ }$ результат её применения к двум элементам ${\displaystyle x}$ и ${\displaystyle y}$ записывается в виде ${\displaystyle x\circ y}$.

---