Семён Башилов родился в 1740 году в Троицко-Сергиевской лавре, при которой его отец состоял приказным. Учился в Троицкой лавровской семинарии. В 1757 году был переведён в гимназию Московского университета, в 1759 году произведён в студенты Московского университета. В 1762 году возвращён в Троицкую семинарию для преподавания математики. В 1764 году назначен инспектором студентов Славяно-греко-латинской академии и Троицкой семинарии, отправляющихся для продолжения обучения в Англию. Вместе со студентами приехал в Санкт-Петербург, но от поездки за границу отказался из-за начавшейся чахотки[1].
В 1766 году поступил переводчиком в Санкт-Петербургскую Академию наук, где познакомился с А. Л. Шлёцером и стал его основным помощником по изданию памятников древнерусской истории. В 1769 году перешёл «сочинителем» в комиссию составления нового Уложения, а в следующем году его перевели в Сенат с производством в сенатские секретари. Умер 11 июля 1770 года (в возрасте 30 лет)[2].
Научная деятельность Башилова выразилась, главным образом, в издании памятников родной старины. Он помогал Шлёцеру при издании I части «Русской летописи по Никонову списку» (Спб., 1767), а в следующем году сам издал II часть этой летописи (Спб., 1768) при содействии академического переводчика Поленова. В том же году появился сборник юридических памятников, изданный Башиловым под заглавием «Судебник Царя и великого князя Ивана Васильевича, Законы из Юстиниановых книг, Указы дополнительные к Судебнику и Таможенный устав царя и великого князя Ивана Васильевича» (Спб., 1768). Первые два памятника изданы Семёном Башиловым по списку XVII в., подаренному в 1746 г. Академии наук канцеляристом Устюжской епархии Иваном Поповым, но Башилов пользовался и рукописью В. Н. Татищева, которую последний задолго перед тем представил в Академию наук и в которой имелись все 4 изданных Башиловым памятника, снабженные многочисленными примечаниями знаменитого историка. До Башилова Судебник издан не был, но в том же 1768 г. появился в Москве Судебник в Татищевской обработке (издан Г. Ф. Миллером)[2].