Высота треугольника

---

Высота треугольника — перпендикуляр, опущенный из вершины треугольника на прямую содержащую противоположную сторону. В зависимости от типа треугольника высота может содержаться внутри треугольника (для остроугольного треугольника), совпадать с его стороной (являться катетом прямоугольного треугольника) или проходить вне треугольника у тупоугольного треугольника.

Если ${\displaystyle ABC}$ ― треугольник, и ${\displaystyle a=BC}$, ${\displaystyle b=AC}$, ${\displaystyle c=AB}$ ― длины сторон (или просто стороны), то ${\displaystyle h_{a}}$, ${\displaystyle h_{b}}$, ${\displaystyle h_{c}}$ ― высоты, опущенные соответственно из вершин ${\displaystyle A}$, ${\displaystyle B}$, ${\displaystyle C}$ на стороны ${\displaystyle a}$, ${\displaystyle b}$, ${\displaystyle c}$ (или их продолжения).

Теорема о произвольной точке внутри треугольника. Если p_a, p_b и p_c - расстояния (перпендикулярные отрезки) от любой точки P треугольника до трех его сторон, а h_a, h_b и h_c - длины высот, опущенных на соответствующие стороны (a, b и c), тогда ^[8]

Следствие теоремы. Если точка P есть инцентр данного треугольника, то p_a = p_b = p_c = ${\displaystyle r}$. Тогда из последней теоремы имеем:

Теорема. Если две произвольные чевианы (не обязательно две высоты) внутри остроугольного треугольника пересекаются в точке третьей чевианы, являющейся высотой этого треугольника, тогда сама высота является биссектрисой угла, образованного двумя отрезками прямых, проведенных из основания указанной высоты до двух оснований указанных чевиан (до двух точек пересечения двух указанных чевиан со сторонами). ^[9]

Теорема о произвольной точке высоты. Если E - произвольная точка на высоте AD любого треугольника ABC, то ^[10]:77–78

---