Гипергеометрическая функция

---

Гипергеометри́ческая фу́нкция (функция Гаусса) — одна из специальных функций. Определяется внутри круга ${\displaystyle |z|<1}$ как сумма гипергеометрического ряда

а при ${\displaystyle |z|>1}$ — как её аналитическое продолжение. Она является решением линейного обыкновенного дифференциального уравнения (ОДУ) второго порядка ${\displaystyle z(1-z){\frac {d^{2}u}{dz^{2}}}+\left(c-(a+b+1)z\right){\frac {du}{dz}}-ab\,u=0,}$ называемого гипергеометрическим уравнением. Гипергеометрический ряд может рассматриваться как обобщение геометрического ряда (отсюда название); частный случай гипергеометрической функции ${\displaystyle F(1,b;b;z)=1+z+z^{2}+z^{3}+\dots \,}$ является суммой геометрического ряда.

Термин «гипергеометрический ряд» впервые был использован Джоном Валлисом в 1655 году в книге Arithmetica Infinitorum. Термин этот относился к ряду, общая формула членов которого имеет вид^[1]

Гипергеометрические ряды изучались Леонардом Эйлером, и более подробно Гауссом^[2]. В XIX веке изучение было продолжено Эрнстом Куммером, а Бернхард Риман определил гипергеометрическую функцию через уравнение, которому она удовлетворяет.

---