Группоид (теория категорий)

---

Группо́ид в теории категорий — категория, в которой все морфизмы являются изоморфизмами. Группоиды можно рассматривать как обобщение групп: категория, соответствующая группе ${\displaystyle G}$, имеет ровно один объект и по одной стрелке для каждого элемента ${\displaystyle g}$ из ${\displaystyle G}$, композиция стрелок задаётся как умножение соответствующих элементов в группе, при этом каждая стрелка является изоморфизмом; таким образом, множество стрелок группоида можно рассматривать как некоторое множество с частично определённой бинарной операцией умножения, так что для каждого элемента существуют левый и правый обратный, а также левая и правая единица по умножению.

Группоиды естественно заменяют в теории категорий группы симметрий и возникают при классификации классов изоморфных объектов.

Любая категория, являющаяся группой, является группоидом. Для произвольной категории ${\displaystyle C}$ группоидом является подкатегория ${\displaystyle D\hookrightarrow C}$, объекты которой совпадают с объектами ${\displaystyle C}$, а морфизмами являются всевозможные изоморфизмы в ${\displaystyle C}$.

Для линейно связного топологического пространства ${\displaystyle X}$ определяется его фундаментальный группоид ${\displaystyle \Pi _{1}(X)}$ как 2-категория, объектами которой являются все точки из ${\displaystyle X}$, а стрелки из ${\displaystyle x\in X}$ в ${\displaystyle y\in X}$ соответствуют всевозможным (геометрическим) путям из ${\displaystyle x}$ в ${\displaystyle y}$:

Две функции ${\displaystyle f}$ и ${\displaystyle g}$ задают один и тот же путь, если существует ${\displaystyle s:[0;1]\to [0;1]}$, так что ${\displaystyle f=g\circ s}$ или ${\displaystyle g=f\circ s}$. Композиция стрелок задаётся композицией путей:

---