Двойное отношение

---

Двойное отношение (или сложное отношение или устаревшее ангармоническое отношение) четвёрки чисел ${\displaystyle a}$, ${\displaystyle b}$, ${\displaystyle c}$, ${\displaystyle d}$ (вещественных или комплексных) определяется как

Также встречаются обозначения ${\displaystyle (a,b;c,d)}$ и ${\displaystyle [a,b;c,d]}$.

Двойным (или сложным) отношением четвёрки точек ${\displaystyle A}$, ${\displaystyle B}$, ${\displaystyle C}$, ${\displaystyle D}$, лежащих на одной (вещественной или комплексной) прямой, называют число

где через ${\displaystyle a}$, ${\displaystyle b}$, ${\displaystyle c}$, ${\displaystyle d}$ обозначены координаты точек ${\displaystyle A}$, ${\displaystyle B}$, ${\displaystyle C}$, ${\displaystyle D}$ соответственно. Двойное отношение не зависит от выбора координаты на прямой. Часто пишут также так:

подразумевая, что через ${\displaystyle AC/BC}$ (соответственно ${\displaystyle AD/BD}$) обозначено отношение направленных отрезков.

Двойным отношением четвёрки прямых ${\displaystyle a}$, ${\displaystyle b}$, ${\displaystyle c}$, ${\displaystyle d}$, проходящих через одну точку, называют число

---