Десятая проблема Гильберта
Деся́тая пробле́ма Ги́льберта — одна из 23 задач, которые Давид Гильберт предложил 8 августа 1900 года на II Международном конгрессе математиков. Она состоит в нахождении универсального метода определения разрешимости произвольного алгебраического диофантова уравнения. Доказательство алгоритмической неразрешимости этой задачи заняло около двадцати лет и было завершено Юрием Матиясевичем в 1970 году[1][2].
В докладе Гильберта постановка десятой задачи самая короткая из всех:
Пусть задано диофантово уравнение с произвольными неизвестными и целыми рациональными числовыми коэффициентами. Указать способ, при помощи которого возможно после конечного числа операций установить, разрешимо ли это уравнение в целых рациональных числах[3].
где — многочлен с целыми коэффициентами и целыми показателями степеней[6]. Степень уравнения равна степени многочлена .
Из всех 23 задач она единственная является проблемой разрешимости[7]. По-видимому, Гильберт считал, что искомый метод существует и рано или поздно будет найден[8]. Вопроса о том, что такого метода может в принципе не быть, во времена Гильберта не стояло[9][10].