Дилогарифм

---

Дилогари́фм — специальная функция в математике, которая обозначается ${\displaystyle \mathrm {Li} _{2}(z)}$ и является частным случаем полилогарифма ${\displaystyle \mathrm {Li} _{n}(z)}$ при ${\displaystyle n=2}$. Дилогарифм определяется как

Приведённое определение дилогарифма верно для комплексных значений переменной ${\displaystyle z}$. Для действительных значений ${\displaystyle z=x}$ у этой функции есть разрез вдоль действительной оси от ${\displaystyle 1}$ до ${\displaystyle \infty }$. Обычно значение функции на разрезе определяется так, что мнимая часть дилогарифма отрицательна:

Функцию ${\displaystyle \operatorname {Li} _{2}(z)}$ часто называют дилогарифмом Эйлера, в честь Леонарда Эйлера, который рассмотрел эту функцию в 1768 году^[1]. Иногда дилогарифм называют функцией Спенса (Spence's function) или интегралом Спенса^[2] в честь шотландского математика Уильяма Спенса (William Spence, 1777—1815)^[3], который в начале XIX века исследовал функции, соответствующие ${\displaystyle -\mathrm {Li} _{2}(-z)}$ и ${\displaystyle \mathrm {Li} _{2}(1-z)}$. Название "дилогарифм" было введено Хиллом (C.J. Hill) в 1828 году.

Для действительных ${\displaystyle x>1}$,

Используя соотношение между функциями от ${\displaystyle x}$ и ${\displaystyle 1/x}$, получаем

---