Дисперсия случайной величины

---

Диспе́рсия случа́йной величины́ — мера разброса значений случайной величины относительно её математического ожидания. Обозначается ${\displaystyle D[X]}$ в русской литературе и ${\displaystyle \operatorname {Var} (X)}$ (англ. variance) в зарубежной. В статистике часто употребляется обозначение ${\displaystyle \sigma _{X}^{2}}$ или ${\displaystyle \displaystyle \sigma ^{2}}$.

Квадратный корень из дисперсии, равный ${\displaystyle \displaystyle \sigma }$, называется среднеквадратическим отклонением, стандартным отклонением или стандартным разбросом. Стандартное отклонение измеряется в тех же единицах, что и сама случайная величина, а дисперсия измеряется в квадратах этой единицы измерения.

Из неравенства Чебышёва следует, что вероятность того, что значения случайной величины отстоят от математического ожидания этой случайной величины более чем на ${\displaystyle k}$ стандартных отклонений, составляет менее ${\displaystyle 1/k^{2}}$. В специальных случаях оценка может быть усилена. Так, например, как минимум в 95 % случаев значения случайной величины, имеющей нормальное распределение, удалены от её среднего не более чем на два стандартных отклонения, а в примерно 99,7 % — не более чем на три.

Дисперсией случайной величины называют математическое ожидание квадрата отклонения случайной величины от её математического ожидания.

Пусть ${\displaystyle X}$ — случайная величина, определённая на некотором вероятностном пространстве. Тогда дисперсией называется

где символ ${\displaystyle \mathbb {E} }$ обозначает математическое ожидание^[1][2].

---