Задача Стефана

---

Задача Стефана представляет собой особый вид краевой задачи для дифференциального уравнения в частных производных, описывающая изменение фазового состояния вещества, при котором положение границы раздела фаз изменяется со временем. Наличие границ раздела между фазами, которые не задаются явно и могут смещаться со временем, является характерной особенностью таких задач. Скорость смещения межфазных границ определяется дополнительным условием на границе раздела фаз, что приводит задачу к нелинейному виду.

В литературе задачу Стефана также называют задачей с подвижными границами (moving boundary problem), или задачей со свободными границами (free boundary problem), или задачей о фазовом переходе (phase change problem).

Примерами физических процессов с фазовыми переходами есть: задача о таянии льда со смещающейся границей между водой и льдом, задача о плавлении твердого вещества с неизвестной границей между твердой и жидкой фазами, задача о перераспределении концентрации при взаимной диффузии в металлическом сплаве с подвижными границами раздела фаз различного химического состава.

Первой работой в данной области считают статью Г. Ламе и Б. П. Клапейрона «Об отвердевании охлаждающегося жидкого шара» 1831 года, в которой было установлено, что толщина твердой фазы, образующейся при затвердевании однородной жидкости, пропорциональна ${\displaystyle {\sqrt {t}}}$. Значительно позже в 1889 году австрийский физик и математик Йозеф Стефан опубликовал четыре статьи, посвященные задачам с фазовыми переходами. Впоследствии задачи данного класса с подвижными межфазными границами стали называть задачами Стефана. В своих работах он сформулировал и решил задачи, определяющие процессы теплопроводности и диффузии для однофазной или двухфазной областей. Кроме того Й. Стефан сформулировал уравнение теплового баланса на границе раздела фаз с учетом скрытой теплоты, и теперь подобные условия сопряжения фаз принято называть условиями Стефана.

Рассмотрим полубесконечный одномерный кусок льда при начальной температуре плавления ${\displaystyle u(x,t)}$≡${\displaystyle 0}$ для ${\displaystyle x}$ ∈ [0,+∞). Положение границы между льдом и водой обозначим через ${\displaystyle s(t)}$. Поток тепла ${\displaystyle f(t)}$ действует на левой границе, что приводит к плавлению льда и увеличению области ${\displaystyle [0,s(t)]}$, занимаемой водой.

---