Краевая задача

---

Краевая задача (граничная задача) — задача о нахождении решения заданного дифференциального уравнения (системы дифференциальных уравнений), удовлетворяющего краевым (граничным) условиям в концах интервала или на границе области. Краевые задачи для гиперболических и параболических уравнений часто называют начально-краевыми или смешанными, потому что в них задаются не только граничные, но и начальные условия.

функции ${\displaystyle f(x)}$ и ${\displaystyle f_{\nu }(x)}$ непрерывны на отрезке ${\displaystyle a\leq x\leq b}$, ${\displaystyle f_{n}(x)\neq 0}$, краевые условия заданы линейными формами

${\displaystyle \gamma _{\mu }}$ — заданные числа. Матрица, составленная из коэффициентов ${\displaystyle \alpha _{\mu },\beta _{\mu }}$ имеет ранг ${\displaystyle m}$, при этом краевые условия линейно независимы. Если ${\displaystyle \gamma _{\mu }=0}$ и ${\displaystyle f(x)\equiv 0}$, краевая задача называется однородной, если только ${\displaystyle \gamma _{\mu }=0}$ — полуоднородной.^[1]

Собственными значениями называются те значения параметра ${\displaystyle \lambda }$, при которых однородная краевая задача

имеет нетривиальное (т.е. не равное тождественно нулю) решение. Совокупность собственных значений называют спектром, а соответствующие нетривиальные решения — собственными функциями этой задачи.

---