Начальные и граничные условия

---

В теории дифференциальных уравнений, начальные и граничные условия — дополнение к основному дифференциальному уравнению (обыкновенному или в частных производных), задающее его поведение в начальный момент времени или на границе рассматриваемой области соответственно.

Обычно дифференциальное уравнение имеет не одно решение, а целое их семейство. Начальные и граничные условия позволяют выбрать из него одно, соответствующее реальному физическому процессу или явлению. В теории обыкновенных дифференциальных уравнений доказана теорема существования и единственности решения задачи с начальным условием (т. н. задачи Коши). Для уравнений в частных производных получены некоторые теоремы существования и единственности решений для определённых классов начальных и краевых задач.

Иногда к граничным относят и начальные условия в нестационарных задачах, таких как решение гиперболических или параболических уравнений.

Главные условия обычно имеют вид ${\displaystyle u(\partial \Omega )=g}$, где ${\displaystyle \partial \Omega }$ — граница области ${\displaystyle \Omega }$.

Уравнение ${\displaystyle {\frac {d^{2}y}{dt^{2}}}=-g}$ описывает движение тела в поле земного тяготения. Ему удовлетворяет любая квадратичная функция вида${\displaystyle y(t)=-gt^{2}/2+at+b,}$ где ${\displaystyle a,b}$ — произвольные числа. Для выделения конкретного закона движения необходимо указать начальную координату тела и его скорость, то есть начальные условия.

Задачи математической физики описывают реальные физические процессы, а потому их постановка должна удовлетворять следующим естественным требованиям:

---