Теорема Пикара (дифференциальные уравнения)

---

Теорема Пикара (теорема Пикара — Линделёфа, теорема Коши — Липшица) — основная теорема обыкновенных дифференциальных уравнений; приводит достаточные условия для существования и единственности решения обыкновенного дифференциального уравнения первого порядка.

Пусть ${\displaystyle y'=f_{t}(y)}$ — обыкновенное дифференциальное уравнение, где ${\displaystyle y=y(t)\in \mathbb {R} ^{n}}$, ${\displaystyle f_{t}(y)}$ — векторное поле зависящее от параметра ${\displaystyle t}$. Если отображение ${\displaystyle (t,y)\mapsto f_{t}(y)}$ непрерывно и для любого фиксированного ${\displaystyle t}$, и отображение ${\displaystyle y\mapsto f_{t}(y)}$ — липшицево, то для любого ${\displaystyle y_{0}}$ существует ${\displaystyle \varepsilon >0}$ такое, что на промежутке ${\displaystyle [t_{0}-\varepsilon ,t_{0}+\varepsilon ]}$ существует решение уравнения с начальными данными ${\displaystyle y(0)=y_{0}}$.

Обычно в доказательстве применяется теорема Банаха о неподвижной точке к интегральной формы уравнения:

---