Теорема Банаха о неподвижной точке

---

Теорема Банаха о неподвижной точке — утверждение в метрической геометрии, гарантирующее наличие и единственность неподвижной точки у определённого класса отображений метрических пространств, также содержит конструктивный метод нахождения этой точки. Теорема названа в честь Стефана Банаха, польского математика, установившего это утверждение в 1922 году.

Пусть ${\displaystyle (\mathbb {X} ,\,d)}$ — непустое полное метрическое пространство.

Пусть ${\displaystyle T\colon \mathbb {X} \to \mathbb {X} }$ — сжимающее отображение на ${\displaystyle \mathbb {X} }$, то есть существует число ${\displaystyle 0\leqslant \alpha <1}$ такое, что

Тогда у отображения ${\displaystyle T}$ существует, и притом единственная, неподвижная точка ${\displaystyle x^{*}}$ из ${\displaystyle \mathbb {X} }$ (неподвижность ${\displaystyle x^{*}}$ означает , что ${\displaystyle Tx^{*}=x^{*}}$)^[1].

Число ${\displaystyle \alpha }$ часто называют коэффициентом сжатия.

Если число ${\displaystyle \alpha }$ равно 1, то есть отображение не сжимающее, теорема может не выполняться.

---