Сжимающее отображение

---

Сжимающее отображение — отображение метрического пространства в себя, уменьшающее расстояние между любыми точками в некотором сильном смысле.

Пусть на метрическом пространстве ${\displaystyle (\mathbb {M} ,d)}$ определено отображение ${\displaystyle A:\mathbb {M} \to \mathbb {M} }$. Оно называется сжимающим на ${\displaystyle \mathbb {M} }$, если существует такое неотрицательное число ${\displaystyle \alpha <1}$, что для любых двух точек ${\displaystyle x,y\in \mathbb {M} }$ выполняется неравенство

Число ${\displaystyle \alpha }$ часто называют коэффициентом сжатия.

Другими словами, сжимающее отображение — это липшицево отображение метрического пространства в себя, константа Липшица которого строго меньше единицы.

Пусть ${\displaystyle \left(\mathbb {M} ,\,d\right)}$ — полное метрическое пространство. Пусть ${\displaystyle A\colon \mathbb {M} \to \mathbb {M} }$ — сжимающее отображение ${\displaystyle \mathbb {M} }$ в себя. Тогда уравнение ${\displaystyle x=Ax}$ имеет единственное решение ${\displaystyle x^{\ast }\in \mathbb {M} }$, причём

---