Граница (топология)

---

Грани́ца мно́жества A — множество всех точек, расположенных сколь угодно близко как к точкам во множестве A, так и к точкам вне множества A.

Пусть дано топологическое пространство ${\displaystyle (X,{\mathcal {T}})}$, где ${\displaystyle X}$ — произвольное множество, а ${\displaystyle {\mathcal {T}}}$ — определённая на ${\displaystyle X}$ топология. Пусть рассматривается множество ${\displaystyle A\subset X.}$ Тогда точка ${\displaystyle x_{0}\in X}$ называется грани́чной то́чкой мно́жества ${\displaystyle A}$, только если для любой её окрестности ${\displaystyle U\ni x_{0},}$ целиком лежащей в этом топологическом пространстве, справедливо:

Множество всех граничных точек множества ${\displaystyle A}$ называется границей множества ${\displaystyle A}$ (в ${\displaystyle X}$) и обозначается ${\displaystyle \partial A}$ или ${\displaystyle \partial _{X}A}$ если необходимо подчеркнуть, что граница рассматривается относительно объемлющего пространства ${\displaystyle X}$.

Рассмотрим числовую прямую ${\displaystyle \mathbb {R} }$ со стандартной топологией. Тогда: для ${\displaystyle -\infty <a<b<+\infty }$:

При этом очень существенно, относительно какого объемлющего топологического пространства рассматривается граница множества.

---