Окрестность

---

Окре́стность точки — множество, содержащее данную точку и близкие (в каком-либо смысле) к ней. В разных разделах математики это понятие определяется по-разному.

Пусть ${\displaystyle \varepsilon >0}$ произвольное фиксированное число.

Окрестностью точки ${\displaystyle x_{0}}$ на числовой прямой (иногда говорят ${\displaystyle \varepsilon }$-окрестностью) называется множество точек, удаленных от ${\displaystyle x_{0}}$ менее чем на ${\displaystyle \varepsilon }$, то есть${\displaystyle O_{\varepsilon }(x_{0})=\{x:|x-x_{0}|<\varepsilon \}}$.

В многомерном случае функцию окрестности выполняет открытый ${\displaystyle \varepsilon }$-шар с центром в точке ${\displaystyle x_{0}}$.

В банаховом пространстве ${\displaystyle (B,\|\cdot \|)}$ окрестностью с центром в точке ${\displaystyle x_{0}}$ называют множество ${\displaystyle A=\{x\in B:\|x-x_{0}\|<\varepsilon \}}$.

В метрическом пространстве ${\displaystyle (M,\rho )}$ окрестностью с центром в точке ${\displaystyle y}$ называют множество ${\displaystyle A=\{x\in M:\rho (x,y)<\varepsilon \}}$.

---