Квадратичная функция одной переменной

---

Квадратичная функция — целая рациональная функция второй степени вида ${\displaystyle f(x)=ax^{2}+bx+c}$, где ${\displaystyle a\neq 0}$ и ${\displaystyle a,b,c\in \mathbb {R} }$. Таким образом, если переменная ${\displaystyle x}$ и некоторый квадратный трёхчлен ${\displaystyle ax^{2}+bx+c}$ связаны функциональной зависимостью (${\displaystyle x}$ рассматривается как независимая переменная величина, сам трёхчлен — как зависимая), то её такую функцию называют квадратичной. Графиком квадратичной функции является парабола. Многие свойства графика квадратичной функции так или иначе связаны с вершиной параболы, которая определяет положение и внешний вид графика функции.

Многие свойства квадратичной функции ${\displaystyle f(x)=ax^{2}+bx+c}$ зависят от значения коэффициента ${\displaystyle a}$. В следующей таблице приводится обзор основных свойств квадратичной функции^[1]. Их доказательство рассматривается в статье в соответствующих разделах.

Действительные числа ${\displaystyle a}$, ${\displaystyle b}$ и ${\displaystyle c}$ в общей записи квадратичной функции называются её коэффициентами. При этом коэффициент ${\displaystyle a}$ принято называть старшим, а коэффициент ${\displaystyle c}$ — свободным. Изменение каждого из коэффициентов приводит к определённым трансформациям параболы.

По значению коэффициента ${\displaystyle a}$ можно судить о том, в какую сторону направлены её ветви (вверх или вниз) и оценить степень её растяжения или сжатия относительно оси ординат:

---