Целая рациональная функция

Целая рациональная функция (также полиномиальная функция) — числовая функция, задаваемая многочленом. Наиболее простыми представителями целой рациональной функции являются константная, линейная и квадратичная функции.

Наряду с дробно-рациональными функциями, целые рациональные функции являются частным случаем рациональных функций.

где ${\displaystyle n\in \mathbb {N} }$, ${\displaystyle a_{n},a_{n-1},\ldots ,a_{2},a_{1},a_{0}\in \mathbb {R} }$ и ${\displaystyle a_{n}\neq 0}$.

Иначе говоря, целая рациональная функция представляет собой линейную комбинацию нескольких степенных функций.

Полиномиальная функция над полем действительных чисел определена всюду и является непрерывной на всей своей области определения. Её множество значений также является подмножеством множества действительных чисел. При чётном ${\displaystyle n}$ множество значений будет, в зависимости от знака старшего коэффициента ${\displaystyle a_{n}}$, ограничено сверху или снизу (см. также таблицу).

Предел полиномиальной функции на бесконечности ${\displaystyle x\to \pm \infty }$ всегда существует, а его конкретное значение зависит от чётности степени ${\displaystyle n}$ и знака при старшем коэффициенте ${\displaystyle a_{n}}$. При этом график полиномиальной функции ведёт себя точно так же, как и график степенной функции ${\displaystyle g(x)=a_{n}x^{n}}$:

${\displaystyle n=0}$

${\displaystyle n=1}$

${\displaystyle n=2}$

${\displaystyle n=3}$

${\displaystyle n=4}$

${\displaystyle n=5}$

Обе функции ${\displaystyle f(x)=x^{3}}$ и ${\displaystyle g(x)=x^{2}}$ имеют нуль первой производной при ${\displaystyle x_{0}=0}$. Однако ${\displaystyle f''(0)=0}$ и ${\displaystyle g''(0)=2}$. Если для ${\displaystyle g(x)}$ это означает наличие локального минимума в ${\displaystyle x_{0}}$, то для ${\displaystyle f(x)}$ на основании второй производной нельзя сделать никакого вывода.