Предел функции

---

Хотя функция ${\displaystyle {\frac {\sin x}{x}}}$ в нуле не определена, однако когда ${\displaystyle x}$ приближается к нулю, её значение становится сколь угодно близко к 1. Иными словами, предел функции в нуле равен 1.

Преде́лом фу́нкции (предельным значением функции) в точке, предельной для области определения функции, называется такая величина, к которой значение рассматриваемой функции стремится при стремлении её аргумента к данной точке. Одно из основных понятий математического анализа.

Предел функции является обобщением понятия предела последовательности. Изначально под пределом функции ${\displaystyle f(x)}$ в точке ${\displaystyle x}$ понимали предел последовательности значений функции: ${\displaystyle f(x_{1}),f(x_{2}),f(x_{3}),\dots }$, соответствующих последовательности элементов области определения функции ${\displaystyle x_{1},x_{2},x_{3}\dots }$, сходящейся к точке ${\displaystyle x}$. Если такой предел существует, то говорят, что функция сходится к указанному значению, иначе говорят, что функция расходится.

Наиболее часто определение предела функции формулируют на языке окрестностей. То, что предел функции рассматривается только в точках, предельных для области определения функции, означает, что в любой окрестности данной точки существуют точки области определения. Это позволяет говорить о стремлении аргумента функции к данной точке. При этом предельная точка области определения не обязана принадлежать самой области определения: например, можно рассматривать предел функции на концах открытого интервала, на котором определена функция (сами концы интервала в область определения не входят).

В общем случае необходимо конкретно указывать способ сходимости функции, для чего вводят так называемую базу подмножеств области определения функции, и тогда определение предела функции формулируют по (заданной) базе. В этом смысле система проколотых окрестностей данной точки — частный случай такой базы множеств.

---