Предельная точка

---

Преде́льная то́чка множества в общей топологии — это такая точка, любая проколотая окрестность которой пересекается с этим множеством.

Точка ${\displaystyle x}$ называется предельной точкой подмножества ${\displaystyle A}$ в топологическом пространстве ${\displaystyle X}$, если всякая проколотая окрестность точки ${\displaystyle x}$ имеет с ${\displaystyle A}$ непустое пересечение.

Точка ${\displaystyle x}$ называется точкой накопления подмножества ${\displaystyle A}$, если всякая окрестность точки ${\displaystyle x}$ имеет с ${\displaystyle A}$ бесконечное число общих точек. Для T₁-пространств (то есть пространств, у которых все точки (одноточечные множества) замкнуты), понятия предельная точка и точка накопления равносильны.

Точка ${\displaystyle x}$ называется точкой конденсации подмножества ${\displaystyle A}$, если всякая окрестность точки ${\displaystyle x}$ содержит несчётное множество точек ${\displaystyle A}$.

Точка ${\displaystyle x}$ называется точкой полного накопления подмножества ${\displaystyle A}$, если для всякой окрестности ${\displaystyle U}$ точки ${\displaystyle x}$ мощность пересечения ${\displaystyle U\cap A}$ равна мощности множества ${\displaystyle A}$.

В частности, предельной точкой числового множества, имеющего бесконечное число элементов, называется точка числовой прямой, в любой окрестности которой содержится бесконечно много элементов этого множества. Также можно считать предельной точкой такого множества ${\displaystyle -\infty }$, если из некоторых его элементов можно составить бесконечно большую последовательность с попарно различными отрицательными элементами. Если же можно составить бесконечно большую последовательность с попарно различными положительными элементами, то можно считать предельной точкой ${\displaystyle +\infty }$^[1].

---