Мощность множества

---

Мо́щность, или кардина́льное число́, мно́жества (лат. cardinalis ← cardo «главное обстоятельство; основа; сердце») — характеристика множеств (в том числе бесконечных), обобщающая понятие количества (числа) элементов конечного множества.

До того, когда была построена теория мощности множеств, множества различались по признакам: пустое/непустое и конечное/бесконечное, также конечные множества различались по количеству элементов. Бесконечные же множества нельзя было сравнить.

Мощность множеств позволяет сравнивать бесконечные множества. Например, счётные множества являются самыми «маленькими» бесконечными множествами.

Мощность множества ${\displaystyle A}$ обозначается через ${\displaystyle |A|}$. Иногда встречаются обозначения ${\displaystyle {\overline {\overline {A}}}}$, ${\displaystyle \#A}$ и ${\displaystyle \mathrm {card} (A)}$.

Если принять аксиому выбора, мощность множества формально будет определяться как наименьшее порядковое число ${\displaystyle \alpha }$, при котором между ${\displaystyle X}$ и ${\displaystyle \alpha }$ можно установить биективное соответствие. Данное определение также называется распределением кардинальных чисел по фон Нейману.

---