Биекция

---

Бие́кция — отображение, которое является одновременно и сюръективным, и инъективным. При биективном отображении каждому элементу одного множества соответствует ровно один элемент другого множества, при этом определено обратное отображение, которое обладает тем же свойством. Поэтому биективное отображение называют также взаимно однозначным отображением (соответствием).

Если между двумя множествами можно установить взаимно однозначное соответствие (биекцию), то такие множества называются равномощными. С точки зрения алгебры равномощные множества неразличимы.

Взаимно однозначное отображение конечного множества на себя называется перестановкой (или подстановкой) элементов этого множества.

Формально, функция ${\displaystyle f\colon X\to Y}$ называется биекцией (и обозначается ${\displaystyle f\colon X\leftrightarrow Y}$), если она:

Функция ${\displaystyle f\colon X\to Y}$ является биективной тогда и только тогда, когда существует обратная функция ${\displaystyle f^{-1}\colon Y\to X}$ такая, что:

Если функции ${\displaystyle f}$ и ${\displaystyle g}$ биективны, то и композиция функций ${\displaystyle g\circ f}$ биективна, в этом случае ${\displaystyle (g\circ f)^{-1}=f^{-1}\circ g^{-1}}$, то есть, композиция биекций является биекцией. Обратное в общем случае неверно: если ${\displaystyle g\circ f}$ биективна, то можно лишь утверждать, что ${\displaystyle f}$ инъективна, а ${\displaystyle g}$ сюръективна.

---