Аксиома выбора

Аксио́мой вы́бора, англ. аббр. AC (от axiom of choice) называется следующее высказывание теории множеств:

Для всякого семейства^[1] $X$ непустых множеств существует функция $f$ , которая каждому множеству семейства сопоставляет один из элементов этого множества^[2]. Функция $f$ называется функцией выбора для заданного семейства.

Если мы ограничимся рассмотрением только конечных семейств множеств, то утверждение аксиомы выбора может быть доказано исходя из других аксиом теории множеств^[2] и не требует постулирования в качестве отдельной аксиомы. Оно также может быть доказано для некоторых бесконечных семейств, однако в общем случае для бесконечных семейств аксиома выбора не следует из других аксиом и является независимым утверждением.

Аксиома выбора была сформулирована и опубликована Эрнстом Цермело в 1904 году (хотя впервые её отметил Беппо Леви на 2 года раньше). Новая аксиома вызвала бурную полемику и до сих пор не все математики принимают её безоговорочно^[3]. Высказывались мнения, что доказательства, полученные с её привлечением, имеют «иную познавательную ценность», чем доказательства, не зависящие от неё^[3]^[4]. Появление аксиомы выбора вызвало также дискуссию о том, что означает в математике понятие «существование» — в частности, о том, можно ли считать существующим множество, ни один элемент которого не известен^[5].

Неприятие аксиомы выбора некоторыми математиками обосновано, прежде всего, тем, что в ней лишь утверждается существование множества $d$ , но не дается никакого способа его определения; такое мнение высказывали, например, Борель и Лебег^[4]. Противоположного мнения придерживались, например, Гильберт, Хаусдорф и Френкель, которые принимали аксиому выбора без всяких оговорок, признавая за ней ту же степень «очевидности», что и за другими аксиомами теории множеств: аксиома объёмности, аксиома существования пустого множества, аксиома пары, аксиома суммы, аксиома степени, аксиома бесконечности.^{[источник не указан 1503 дня]}