Степенная функция

---

Степенна́я фу́нкция — функция ${\displaystyle y=x^{a}}$, где ${\displaystyle a}$ (показатель степени) — некоторое вещественное число^[1][2]. К степенным часто относят и функцию вида ${\displaystyle y=kx^{a}}$, где ${\displaystyle k}$ — некоторый (ненулевой) коэффициент^[3]. Существует также комплексное обобщение степенной функции^[⇨].

Степенная функция является частным случаем многочлена. На практике показатель степени почти всегда является целым или рациональным числом.

Для целых положительных показателей ${\displaystyle a}$ степенную функцию можно рассматривать на всей числовой прямой, тогда как для отрицательных ${\displaystyle a}$, функция не определена в нуле (нуль является её особой точкой)^[4].

Для рациональных ${\displaystyle a={\frac {p}{q}}\ (q>0)}$ область определения зависит от чётности ${\displaystyle q}$ и от знака ${\displaystyle p.}$ так как ${\displaystyle x^{a}={\sqrt[{q}]{x^{p}}}.}$:

Для вещественного показателя ${\displaystyle a}$ степенная функция ${\displaystyle x^{a}}$, вообще говоря, определена только при ${\displaystyle x>0.}$ Если ${\displaystyle a>0,}$ то функция определена и в нуле^[4].

Графики степенной функции ${\displaystyle y=x^{n}}$ при целочисленном показателе ${\displaystyle n}$:

---