Параболическое уравнение

---

Параболические уравнения — класс дифференциальных уравнений в частных производных. Один из видов уравнений, описывающих нестационарные процессы.

Рассмотрим общий вид скалярного дифференциального уравнения в частных производных второго порядка относительно функции ${\displaystyle u:R^{n}\rightarrow R}$:

При этом уравнение записано в симметричном виде, то есть ${\displaystyle a_{ij}=a_{ji}}$. Тогда эквивалентное уравнение в виде квадратичной формы:

где ${\displaystyle A=A^{T}}$.
Матрица ${\displaystyle A}$ называется матрицей главных коэффициентов.
Если сигнатура полученной формы равна ${\displaystyle (n-1,0)}$, то есть матрица ${\displaystyle A}$ имеет одно собственное значение, равное нулю, и ${\displaystyle n-1}$ собственных значений имеют одинаковый знак, то уравнение относят к параболическому типу^[1].
Другое, эквивалентное определение: уравнение называется параболическим, если оно представимо в виде:

где ${\displaystyle L}$ — эллиптический оператор, ${\displaystyle a\neq 0}$.

Для нахождения единственного решения уравнение рассматривается в совокупности с начальными и краевыми условиями. Поскольку по времени уравнение имеет первый порядок, то начальное условие накладывается одно: на искомую функцию.

---