Сигнатура (линейная алгебра)

---

В линейной алгебре сигнатура — числовая характеристика квадратичной формы или псевдоевклидова пространства, в котором скалярное произведение задано с помощью соответствующей квадратичной формы.

Каждая квадратичная форма с действительными коэффициентами может быть приведена с помощью невырожденной линейной замены переменных к каноническому виду

Разность ${\displaystyle p-q}$ между числом положительных и отрицательных членов в этой записи называется сигнатурой квадратичной формы. Числа p и q сигнатуры не зависят от способов приведения формы к каноническому виду (закон инерции Сильвестра).

Сигнатуру квадратичной формы также записывают в виде пары чисел ${\displaystyle (p,q)}$ или в виде ${\displaystyle (+\cdots +-\cdots -)}$ с соответствующим числом плюсов и минусов.

Квадратичная форма от двух переменных ${\displaystyle x_{1}x_{2}}$ может быть приведена к каноническому виду ${\displaystyle {\tilde {x}}_{1}^{2}-{\tilde {x}}_{2}^{2},}$ например, с помощью линейной замены переменных:

${\displaystyle x_{1}=({\tilde {x}}_{1}+{\tilde {x}}_{2}),}$ ${\displaystyle x_{2}=({\tilde {x}}_{1}-{\tilde {x}}_{2}).}$

---