Псевдоевклидово пространство

---

Псе́вдоевкли́дово простра́нство — конечномерное вещественное векторное или аффинное пространство с невырожденным индефинитным скалярным произведением, которое называют также индефинитной метрикой. Индефинитная метрика не является метрикой в смысле определения метрического пространства, а представляет собой частный случай метрического тензора.

Псевдоевклидово пространство определяется парой целочисленных параметров ${\displaystyle (m,n)}$ — максимальной размерностью подпространства с положительно и отрицательно определёнными метриками; пара ${\displaystyle (m,n)}$ называется сигнатурой пространства. Пространства с сигнатурой ${\displaystyle (m,n)}$ обычно обозначаются ${\displaystyle \mathbb {E} ^{m,n}}$ или ${\displaystyle \mathbb {R} ^{m,n}}$. Важнейшим примером псевдоевклидова пространства является пространство Минковского ${\displaystyle \mathbb {E} ^{m,1}}$.

Выбрав подходящий базис векторного псевдоевклидова пространства ${\displaystyle L}$, всегда можно добиться того, чтобы индефинитное скалярное произведение этого пространства имело вид

где ${\displaystyle x=(x_{1},\ldots ,x_{n})}$ и ${\displaystyle y=(y_{1},\ldots ,y_{n})}$ — векторы пространства${\displaystyle L}$. В частности, скалярный квадрат вектора имеет вид

и может быть как положительным, так и отрицательным числом, а также нулём (даже для ненулевого вектора ${\displaystyle x}$). Соответственно, длина вектора ${\displaystyle x}$, определённая равенством

---