Метрический тензор

---

Метри́ческий те́нзор, или ме́трика, — симметричное тензорное поле ранга (0,2) на гладком многообразии, посредством которого задаётся скалярное произведение векторов в касательном пространстве. Иначе говоря, метрический тензор задаёт билинейную форму на касательном пространстве к этой точке, обладающую свойствами скалярного произведения и гладко зависящую от точки.

Метрический тензор позволяет определить длины кривых, углы между кривыми, объём и другие понятия свойственные евклидову пространству. В частном случае поверхности метрика также называется первой квадратичной формой.

В общей теории относительности метрика рассматривается в качестве фундаментального физического поля (гравитационного) на четырёхмерном многообразии физического пространства-времени. Широко используется и в других построениях теоретической физики, в частности, в биметрических теориях гравитации на пространстве-времени рассматривают сразу две метрики.

Далее в формулах этой статьи с повторяющимися индексами везде подразумевается суммирование по правилу Эйнштейна, то есть по каждому повторяющемуся индексу.

Метрический тензор в локальных координатах ${\displaystyle x^{1},x^{2},\dots ,x^{n}}$, обычно задаётся как ковариантное тензорное поле ${\displaystyle g_{ij}\ }$. Через него определяются скалярные произведения координатных векторных полей ${\displaystyle \partial _{i}={\frac {\partial }{\partial x^{i}}}}$:

где ${\displaystyle v=v^{i}\partial _{i}\ ,w=w^{i}\partial _{i}}$ — представление векторных полей в локальных координатах.

---