Касательное пространство

---

Касательное пространство к гладкому многообразию ${\displaystyle M}$ в точке ${\displaystyle x}$ — совокупность касательных векторов с введённой на ней естественной структурой векторного пространства. Касательное пространство к ${\displaystyle M}$ в точке ${\displaystyle x}$ обычно обозначается ${\displaystyle T_{x}M}$ или — когда очевидно, о каком многообразии идёт речь — просто ${\displaystyle T_{x}}$.

Совокупность касательных пространств во всех точках многообразия (вместе с самим многообразием) образует векторное расслоение, которое называется касательным расслоением. Соответственно, каждое касательное пространство есть слой касательного расслоения.

Касательное пространство в точке ${\displaystyle p}$ к подмногообразию определяется аналогично.

В простейшем случае, когда гладкое многообразие гладко вложено в векторное пространство (что возможно всегда, согласно теореме Уитни о вложении), каждое касательное пространство можно естественно отождествить с некоторым афинным подпространством объемлющего векторного пространства.

Есть два стандартных определения касательного пространства: через класс эквивалентности гладких кривых и через дифференцирование в точке. Первое интуитивно проще, но на этом пути возникает ряд технических сложностей. Второе является наиболее простым, хотя уровень абстракции в нём выше. Второе определение также легче применять на практике.

Пусть ${\displaystyle M}$ — гладкое многообразие и ${\displaystyle p\in M}$. Рассмотрим класс ${\displaystyle \Gamma _{p}}$ гладких кривых ${\displaystyle \gamma \colon \mathbb {I} \to M}$таких, что ${\displaystyle \gamma (0)=p}$. Введём на ${\displaystyle \Gamma _{p}}$ отношение эквивалентности: ${\displaystyle \gamma _{1}\sim \gamma _{2}}$ если

---