Касательный вектор

---

Касательный вектор — элемент касательного пространства, например элемент касательной прямой к кривой, касательной плоскости к поверхности так далее.

Касательным вектором к графику функции ${\displaystyle f}$ в точке ${\displaystyle x_{0}}$ называется вектор с компонентами

Касательным вектором к гладкому многообразию ${\displaystyle M}$ в точке ${\displaystyle p\in M}$ называется оператор ${\displaystyle X}$, сопоставляющий каждой гладкой функции ${\displaystyle f\colon M\to \mathbb {R} }$ число ${\displaystyle Xf}$ и обладающий следующими свойствами:

Множество всех таких операторов в точке ${\displaystyle p}$ имеет естественную структуру линейного пространства, именно:

Совокупность всех касательных векторов в точке ${\displaystyle p}$ образует векторное пространство, которое называется касательным пространствомв точке ${\displaystyle p}$. Совокупность всех касательных векторов во всех точках многообразия образует векторное расслоение, которое называется касательным расслоением.

Понятие касательного вектора к многообразию в точке обобщает понятие касательного вектора к гладкому пути в пространстве Rⁿ. Пусть в Rⁿ задан гладкий путь ${\displaystyle \mathbf {f} \colon [0,1]\rightarrow \mathbb {R} ^{n}}$:

---