Гладкая функция

---

Гладкая функция порядка 1 — непрерывно-дифференцируемая функция, то есть функция, имеющая непрерывную производную.

Гладкая функция порядка ${\displaystyle k\in \mathbb {N} }$ — дифференцируемая ${\displaystyle k}$ раз функция, плюс к этому ${\displaystyle k}$-я производная является непрерывной.

Гладкая функция порядка ${\displaystyle \infty }$ — бесконечно-дифференцируемая функция, то есть функция, имеющая производные всех порядков.

Гладкая функция порядка ${\displaystyle \omega }$ или ${\displaystyle a}$ — вещественно-аналитическая функция, то есть функция, разложимая в степенной ряд окрестности точки (в окрестности каждой точки, если рассматривается гладкость на множестве).

Без уточнения порядка под гладкой функцией обычно понимают либо непрерывно-дифференцируемую функцию, либо бесконечно-дифференцируемую функцию, в зависимости от конкретного автора. Также довольно часто в конкретном месте под гладкой функцией понимают гладкую функцию порядка достаточного для того, чтобы имели смысл все действия, выполняемые над функцией по ходу текущего рассуждения.

Гладкость может быть определена как в одной точке, так и на всей области определения. Множество гладких функций порядка ${\displaystyle k}$ на множестве ${\displaystyle X}$ обозначается как ${\displaystyle C^{k}(X)}$ и называется классом гладкости. Классы гладкости упорядочены по включению следующим образом: ${\displaystyle C^{0}\supset C^{1}\supset C^{2}\supset \ldots \supset C^{\infty }\supset C^{\omega }}$; таким образом, гладкая функция порядка ${\displaystyle k}$ является гладкой и всех порядков меньших ${\displaystyle k}$. Гладкие функции порядка ${\displaystyle k}$ также называют ${\displaystyle k}$-гладкими функциями.

---