Гладкое многообразие

---

Гладкое многообразие — многообразие, наделенное гладкой структурой. Гладкие многообразия являются естественной базой для построения дифференциальной геометрии. На дифференциальных многообразиях вводятся дополнительные инфинитезимальные структуры — касательное пространство, ориентация, метрика, связность и т. д., и изучаются те свойства, связанные с этими объектами, которые инвариантны относительно группы диффеоморфизмов, сохраняющих дополнительную структуру.

Пусть ${\displaystyle X}$ — хаусдорфово топологическое пространство. Если для каждой точки ${\displaystyle x\in X}$ найдется её окрестность ${\displaystyle U}$, гомеоморфная открытому подмножеству пространства ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$, то ${\displaystyle X}$ называется локально евклидовым пространством, или топологическим многообразием размерности ${\displaystyle n}$.

Пара ${\displaystyle (U,\phi )}$, где ${\displaystyle \phi }$ — указанный гомеоморфизм, называется локальной картой ${\displaystyle X}$ в точке ${\displaystyle x}$. Таким образом, каждой точке соответствует набор ${\displaystyle n}$ вещественных чисел ${\displaystyle (x^{1},\ldots ,x^{n})}$, которые называются координатами в карте ${\displaystyle (U,\phi )}$. Множество карт ${\displaystyle \{(U_{\alpha },\phi _{\alpha })\},\alpha \in A,}$ называется ${\displaystyle C^{k}}$-атласом ${\displaystyle (0\leqslant k\leqslant \infty )}$ многообразия ${\displaystyle X}$, если:

---