Открытое множество

---

Откры́тое мно́жество — это множество, каждый элемент которого входит в него вместе с некоторой окрестностью (в метрических пространствах и, в частности, на числовой прямой). Например, внутренность шара (без границы) является открытым множеством, а шар вместе с границей — не является открытым.

Термин «открытое множество» применяется к подмножествам топологических пространств и в этом случае никак не характеризует «само» множество (ни в смысле теории множеств, ни даже в смысле индуцированной на нём топологической структуры)^[1][2]. Открытое множество является фундаментальным понятием общей топологии.

Пусть ${\displaystyle U\subset \mathbb {R} ^{n}}$ есть некоторое подмножество евклидова пространства. Тогда ${\displaystyle U}$ называется открытым, если ${\displaystyle \forall x_{0}\in U\;\exists \varepsilon >0,}$ такое что ${\displaystyle V_{\varepsilon }(x_{0})\subset U}$, где ${\displaystyle V_{\varepsilon }(x_{0})\equiv \left\{x\in \mathbb {R} ^{n}:\|x-x_{0}\|<\varepsilon \right\}}$ — ε-окрестность точки ${\displaystyle x_{0}.}$

Например, интервал ${\displaystyle (a,b)}$ как подмножество действительной прямой является открытым множеством. В то же время отрезок ${\displaystyle [a,b]}$ или полуинтервал ${\displaystyle [a,b)}$ не являются открытыми, так как точка ${\displaystyle a}$ принадлежит множеству, но ни одна её окрестность в этом множестве не содержится.

---