Касательное расслоение

---

Касательное расслоение гладкого многообразия ${\displaystyle M}$ — векторное расслоение над ${\displaystyle M}$, слой которого в точке ${\displaystyle x\in M}$ является касательным пространством ${\displaystyle T_{x}M}$ в точке ${\displaystyle x}$. Касательное расслоение обычно обозначается ${\displaystyle TM}$.

Элемент тотального пространства ${\displaystyle TM}$ — это пара ${\displaystyle (x,\;v)}$, где ${\displaystyle x\in M}$ и ${\displaystyle v\in T_{x}M}$. Касательное расслоение обладает естественной топологией (не топологией дизъюнктивного объединения) и гладкой структурой, превращающими его в многообразие. Размерность ${\displaystyle TM}$ равна удвоенной размерности ${\displaystyle M}$.

Если ${\displaystyle M}$ — ${\displaystyle n}$-мерное многообразие, то оно обладает атласом карт ${\displaystyle (U_{\alpha },\;\varphi _{\alpha })}$, где ${\displaystyle U_{\alpha }}$ — открытое подмножество ${\displaystyle M}$ и

Эти локальные координаты на ${\displaystyle U}$ порождают изоморфизм между ${\displaystyle T_{x}M}$ и ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ для любого ${\displaystyle x\in U}$. Можно определить отображение

Эти отображения используются для определения топологии и гладкой структуры на ${\displaystyle TM}$.

---