Первая квадратичная форма

---

Первая квадратичная форма (или первая фундаментальная форма или метрический тензор) поверхности ― квадратичная форма на касательном расслоении поверхности, которая определяет внутреннюю геометрию поверхности в окрестности данной точки. Первая квадратичная форма часто обозначается ${\displaystyle \mathrm {I} }$.

Знание первой квадратичной формы достаточно для вычисления гауссовой кривизны поверхности, а также для вычисления длин дуг, углов между кривыми и площади областей на поверхности.

Пусть в евклидовом пространстве со скалярным произведением ${\displaystyle \langle \cdot ,\cdot \rangle }$ поверхность задана уравнением ${\displaystyle r=r(u,v),}$ где ${\displaystyle u}$ и ${\displaystyle v}$ ― внутренние координаты на поверхности; ${\displaystyle dr=r_{u}du+r_{v}dv}$ ― дифференциал радиус-вектора ${\displaystyle r}$ вдоль выбранного направления смещения из точки ${\displaystyle M}$ в бесконечно близкую точку ${\displaystyle M'}$. (Здесь ${\displaystyle r_{u}}$ и ${\displaystyle r_{v}}$ — частные производные радиус-вектора ${\displaystyle r}$ по ${\displaystyle u}$ и по ${\displaystyle v}$ соответственно.) Тогда квадрат главной части приращения длины ${\displaystyle |MM'|}$ выражается квадратом дифференциала ${\displaystyle dr}$:

Тензор ${\displaystyle g_{i,j}}$ называется основным, или метрическим, тензором поверхности.

---