Длина кривой

---

Длина́ криво́й (или, что то же, длина́ дуги́ криво́й) — числовая характеристика протяжённости этой кривой^[1]. Исторически вычисление длины кривой называлось спрямлением кривой (от лат. rectificatio, спрямление).

Для евклидова пространства длина отрезка кривой определяется как точная верхняя грань длин вписанных в кривую ломаных.

Например, пусть непрерывная кривая ${\displaystyle \gamma }$ в трёхмерном пространстве задана параметрически:

где ${\displaystyle a\leqslant t\leqslant b}$, все три функции непрерывны и нет кратных точек, то есть разным значениям ${\displaystyle t}$ соответствуют разные точки кривой. Построим всевозможные разбиения параметрического интервала ${\displaystyle [a,b]}$ на ${\displaystyle m}$ отрезков: ${\displaystyle a=t_{0}<t_{1}<\dots <t_{m}=b}$. Соединение точек кривой ${\displaystyle \gamma (t_{0}),\dots ,\gamma (t_{m})}$ отрезками прямых даёт ломаную линию. Тогда длина отрезка кривой определяется как точная верхняя грань суммарных длин всех таких ломаных^[2].

Задача спрямления оказалась гораздо сложнее, чем вычисление площади, и в античные времена единственное успешное спрямление было выполнено для окружности. Декарт даже высказывал мнение, что «отношение между прямыми и кривыми неизвестно и, даже, думаю, не может быть познано людьми»^[4][5].

Первым достижением стало спрямление параболы Нейла (1657), выполненное Ферма и самим Нейлом. Вскоре была найдена длина арки циклоиды (Рен, Гюйгенс). Джеймс Грегори (ещё до открытия математического анализа) создал общую теорию нахождения длины дуги, которая немедленно была использована для различных кривых.

---