Циклоида

---

Циклоида определяется кинематически как траектория фиксированной точки производящей окружности, катящейся без скольжения по прямой. Далее всюду ${\displaystyle r}$ обозначает радиус производящей окружности.

Примем горизонтальную ось координат в качестве прямой, по которой катится производящая окружность радиуса ${\displaystyle r}$. Циклоида описывается:

Циклоида — периодическая функция по оси абсцисс, с периодом ${\displaystyle 2\pi r}$. За границы периода удобно принять особые точки (точки возврата) вида ${\displaystyle t=2\pi k}$, где ${\displaystyle k}$ — произвольное целое число.

Для проведения касательной к циклоиде в произвольной её точке ${\displaystyle A}$ достаточно соединить эту точку с верхней точкой производящей окружности. Соединив ${\displaystyle A}$ с нижней точкой производящей окружности, мы получим нормаль.

Длина арки циклоиды равна ${\displaystyle 8r}$. Другими словами, длина одной ветви циклоиды равна учетверённому диаметру производящей окружности. Это свойство открыл Кристофер Рен в 1658 году^[3]

Зависимость длины дуги циклоиды (${\displaystyle s}$) от параметра ${\displaystyle t}$ следующая^[4]: ${\displaystyle s(t)=4r(1-\cos {t \over 2})}$.

---