Периодическая функция

---

Периодическая фу́нкция ― функция, повторяющая свои значения через некоторый регулярный интервал аргумента, то есть не меняющая своего значения при добавлении к аргументу некоторого фиксированного ненулевого числа (пери́ода функции) на всей области определения.

Говоря более формально, функция называется периодической с периодом ${\displaystyle T\neq 0}$, если для каждой точки ${\displaystyle x}$ из её области определения точки ${\displaystyle x+T}$ и ${\displaystyle x-T}$ также принадлежат её области определения, и для них выполняется равенство ${\displaystyle f(x)=f(x+T)=f(x-T)}$.

Исходя из определения, для периодической функции справедливо также равенство ${\displaystyle f(x)=f(x+nT)}$, где ${\displaystyle n}$ — любое целое число.

Пусть ${\displaystyle M}$ есть абелева группа (обычно предполагается ${\displaystyle M=(\mathbb {R} ,+)}$ — вещественные числа с операцией сложения или ${\displaystyle (\mathbb {C} ,+)}$ — комплексные числа). Функция ${\displaystyle f:M\to N}$ (где ${\displaystyle N}$ — произвольное множество её значений) называется периодической с периодом ${\displaystyle T\not =0}$ , если справедливо

Если это равенство не выполнено ни для какого ${\displaystyle T\in M,\,T\not =0}$ , то функция ${\displaystyle f}$ называется апериоди́ческой.

---