Уроженец станицы Старотитаровская. Выступает за ЦСП по зимним видам спорта (Сочи, Краснодарский край). С 2012 года в сборной России. Разгоняющий в четвёрке.
В январе 2014 года на этапе Кубка Европы в Санкт-Морице (Швейцария) четвёрка Евгения Пашкова, одним из разгоняющих в которой был Алексей, занял первое место, опередив квартеты Германии и Латвии.
Серебряный призер чемпионата Европы 2015 года в состязании четверок в составе четвёрки пилота Александра Касьянова.
Зайцев начал встречаться с знаменитой российской гимнасткой Алией Мустафиной осенью 2015 года после проведенного вместе времени в больнице, где они восстанавливались после спортивных травм.[2]
3 ноября 2016 года Алексей женился на Алие в Краснодаре[3][4]. В январе 2017 года было объявлено, что Алия беременна и что ребенок должен родиться в июле.[5] 9 июня 2017 года Мустафина родила девочку,которую назвали Алисой.[6][7] 29 апреля 2018 года Мустафина объявила о разводе с Алексеем Зайцевым.[8]