Замена вероятностной меры
Замена вероятностной меры (Change measure) - применяемая в стохастической финансовой математике процедура изменения вероятностной меры относительно которой рассматриваются случайные процессы с целью получения иных (возможно более удобных с для практических целей) формул оценки стоимости финансовых инструментов или иных их характеристик.
Замена вероятностной меры основана на теоремах Радона-Никодима, теореме Гирсанова, а также на обобщенной формуле Байеса для условных математических ожиданий.
Теория арбитражного ценообразования в первую очередь предполагает замену физической вероятностной меры на риск-нейтральную меру. Во многих случаях удобным оказывается замена последней на форвардную меру. Могут применяться также иные меры, например, своп-мера.
Чаще всего использование той или иной меры связано с тем что в соответствующей мере некоторый интересующий процесс является мартингалом, а значит наилучшей оценкой будущего ожидаемого значения (ожидаемого в этой мере) равно текущему значению процесса.
В теории вероятностей вероятностная мера определяется аксиоматически, соответственно на одном и том же пространстве событий могут быть определены потенциально разные вероятностные меры. В теории меры используется понятие абсолютной непрерывности одной меры относительно другой и более сильное понятие взаимной абсолютной непрерывности мер - эквивалентность мер. Меры называются эквивалентными, если любое событие нулевой меры в одной из них имеет нулевое значение и в другой мере.
Теорема Радона-Никодима утверждает, что для таких мер существует случайная величина, с помощью которой можно перейти от одной меры к другой. Такая случайная величина Z называется производной Радона-Никодима и ее удобно обозначать по аналогии с обычными производными как . При таком обозначении очевидным становится равенство, которое собственно и представляет собой определение производной Радона-Никодима:
