Замыкание (топология)

---

Замыка́ние — конструкция, дающая наименьшее замкнутое множество, содержащее данное множество топологического пространства.

Замыкание множества ${\displaystyle S}$ обычно обозначается ${\displaystyle {\bar {S}}.}$ Другие обозначения: ${\displaystyle \operatorname {cl} (S),\operatorname {Cl} (S).}$

Пусть ${\displaystyle S}$ есть подмножество топологического пространства ${\displaystyle X.}$Замыканием ${\displaystyle S}$ в ${\displaystyle X}$ называется пересечение всех замкнутых множеств, содержащих ${\displaystyle S.}$

Замечание.Поскольку пересечение произвольного семейства замкнутых множеств замкнуто, замыкание всегда замкнуто.

Точка ${\displaystyle x}$ топологического пространства ${\displaystyle X}$ называется точкой прикосновения множества ${\displaystyle S,}$ если любая окрестность ${\displaystyle x}$ содержит хотя бы одну точку множества ${\displaystyle S.}$

Множество всех точек прикосновения ${\displaystyle S}$ называется замыканием ${\displaystyle S.}$

---