Идеальное число

---

Идеальные числа были введены в 1847 году немецким математиком Эрнстом Эдуардом Куммером^[1] и послужили отправной точкой для определения идеалов колец, введённых позже Дедекиндом. В настоящее время этот термин не используется и заменён понятием идеала.

Идеал в кольце является главным, если он состоит из элементов, кратных некоторому элементу, иначе он неглавный. Таким образом, каждому числу кольца можно сопоставить главный идеал, при этом можно предположить существование идеальных чисел, которым бы соответствовал произвольный идеал.

Пусть y — корень уравнения y² + y + 6 = 0, тогда кольцо целых чисел поля ${\displaystyle \mathbb {Q} (y)}$ — это ${\displaystyle \mathbb {Z} [y]}$, то есть все выражения вида a + by, где a и b — элементы кольца целых чисел. Пример неглавного идеала в таком кольце — 2a + yb, где a и b — целые числа; куб этого идеала — главный, группа класса — циклическая порядка 3. Соответствующее поле класса получается присоединением всех элементов w вида w³ − w − 1 = 0 к ${\displaystyle \mathbb {Q} (y)}$, что даёт ${\displaystyle \mathbb {Q} (y,w)}$. Идеальное число неглавного идеала 2a + yb — это ${\displaystyle \iota =(-8-16y-18w+12w^{2}+10yw+yw^{2})/23}$. Так как оно удовлетворяет уравнению${\displaystyle \iota ^{6}-2\iota ^{5}+13\iota ^{4}-15\iota ^{3}+16\iota ^{2}+28\iota +8=0}$, то оно алгебраическое целое число.

Все элементы кольца целых чисел поля классов, при умножении на ι дающие ${\displaystyle \mathbb {Z} [y]}$ имеют вид aα + bβ, где

---