Инверсия (геометрия)

---

Инве́рсия (от лат. inversio «обращение») относительно окружности — преобразование евклидовой плоскости, переводящее обобщённые окружности (окружности либо прямые) в обобщённые окружности, при котором одна из окружностей поточечно переводится в себя.

Пусть в евклидовой плоскости задана некоторая окружность ${\displaystyle \Gamma }$ с центром ${\displaystyle O}$(называемым полюсом инверсии, или центром инверсии, эта точка выколота) и радиусом ${\displaystyle R}$. Инверсия точки ${\displaystyle P}$ относительно ${\displaystyle \Gamma }$ есть точка ${\displaystyle P'}$, лежащая на луче ${\displaystyle OP}$ такая, что

Инверсия относительно окружности ${\displaystyle \Gamma }$ с центром O обладает следующими основными свойствами:

Получить образ P' точки P при инверсии относительно данной окружности с центром O можно следующим образом^[3]:

Если точку плоскости задать одной комплексной координатой ${\displaystyle z=x+iy}$, то это выражение можно представить в виде

где ${\displaystyle {\bar {z}}}$ — комплексно сопряжённое число для ${\displaystyle z}$. Данная функция комплексного переменного является антиголоморфной, откуда, в частности, следует конформность инверсии.

---