Двойственное пространство

---

Двойственное пространство (также дуальное пространство, иногда сопряжённое пространство) — пространство линейных функционалов на заданном векторном пространстве.

Множество всех непрерывных линейных функционалов, определённых на топологическом векторном пространстве ${\displaystyle E}$, также образует векторное пространство. Это пространство называется сопряжённым к ${\displaystyle E}$, оно обычно обозначается ${\displaystyle E^{*}}$. Множество всех линейных функционалов на ${\displaystyle E}$, не обязательно непрерывных, называется алгебраически сопряжённым к ${\displaystyle E}$, оно обычно обозначается ${\displaystyle E^{\#}}$ ^[1].

В случае (рассматриваемом обычно в линейной алгебре), когда векторное пространство ${\displaystyle E}$ конечномерное, все линейные функционалы автоматически являются непрерывными, и сопряжённое пространство ${\displaystyle E^{*}=E^{\#}}$ состоит просто из всех линейных функционалов (функций) на ${\displaystyle E}$. В случае (рассматриваемом обычно в функциональном анализе), когда ${\displaystyle E}$ бесконечномерное, вообще говоря, ${\displaystyle E^{*}\neq E^{\#}}$^[1].

В тензорном исчислении применяется обозначение ${\displaystyle x^{k}}$ для элементов ${\displaystyle E}$ (верхний, или контравариантный, индекс) и ${\displaystyle x_{k}}$ для элементов ${\displaystyle E^{*}}$ (нижний, или ковариантный, индекс).

Двойственное отображение — линейное отображение между векторными пространствами, двойственными к данным, индуцированное отображением между самими пространствами.

---