Конструктивное доказательство — доказательство, в котором существование математического объекта доказывается путем прямого построения — в отличие от неконструктивного доказательства (также известного как чистая теорема существования), которое доказывает существование объекта с определёнными свойствами без предоставления конкретного примера.
Конструктивная математика отвергает всё, кроме конструктивного доказательства. Это приводит к ограничению на допустимые методы доказательства (в частности, закон исключенного третьего не используется), а также другому пониманию терминов. Например, термин «или» имеет более сильное значение в конструктивной математике, чем в классической.
Сначала рассмотрим теорему о том, что существует бесконечное множество простых чисел. Доказательство Евклида является конструктивным.
Однако распространенное упрощение этого доказательства, которое ведётся методом от противного из предположения, что существует лишь конечное число простых, конструктивным не является.
Предположим, что M — самое большое простое число. Тогда M! + 1 не делится ни на одно из имеющихся простых чисел — а значит, новое простое число.
Возьмём какое-то простое число, например, a1 = 2. Строим последовательность a2 = 2! + 1, a3 = a2! + 1, и т. д. Все эти числа будут простыми.